证明0.999...=1 《高等数学》复旦版黄立宏第四版

根据数列极限的定义证明：$\lim \limits_{n \to \infty} 0.\overset{n个}{\overbrace{ 99 \cdots 9 } } = 1.$

证明：因为对于所有的正整数 n ，有$\left | 0.\overset{n个}{\overbrace{999 \cdots 9}} - 1 \right | < 1$，故 ∀ ε > 0，不妨设 ε < 1，要使 $\left | 0.\overset{n个}{\overbrace{99 \cdots 9}} - 1 \right | = \frac{1}{10^{n}} < \varepsilon$ ，只要 $n > \frac{-\ln \varepsilon }{\ln 10}$，取$N = \left [ \frac{-\ln \varepsilon }{\ln 10} \right ]$ ，则当 n > N 时，恒有 $\left | 0.\overset{n个}{\overbrace{99 \cdots 9}} - 1 \right | < \varepsilon$，故 $\lim \limits_{n \to \infty} 0.\overset{n个}{\overbrace{ 99 \cdots 9 } } = 1.$